بحث عن عن المنطق في الرياضيات 

بحث عن عن المنطق في الرياضيات ففي حين أن (المنطق) قد يشير ببساطة إلى التفكير المنطقي الصحيح في الحياة اليومية، فهو أيضًا أحد أقدم فروع الرياضيات وأكثرها تأسيسًا، وغالبًا ما يلتبس للناس الحدود ما بين المنطق والفلسفة، ومن خلال مقالنا هذا سوف نحل لكم كل مبهم حول المنطق في الرياضيات.

مقدمة بحث عن المنطق في الرياضيات

في بداية بحثنا هذا سوف نبدأ بالتعريف بالمنطق في الرياضيات، لنتنقل إلى بيان الفروق وفكل الالتباس ما بين المنطق الرياضي والفلسفي، ثم نرفق لكم معلومات عن تاريخ المنطق الرياضي وفضل أرسطو في وضع أسس هذا المنطق، وعن علم المنطق الرياضي الحديث آفاقه وآليته، وننهي بحثنا بأهمية الرياضيات في حياتنا اليومية.

شاهد أيضاً: عالم رياضيات يوناني عرف بابو الهندسة من 6 حروف

بحث عن المنطق في الرياضيات

يتعلق المنطق بعلوم الكمبيوتر النظرية من خلال نظرية الحوسبة ونظرية الإثبات والجبر ونظرية الأعداد والهندسة الجبرية من خلال نظرية النموذج والتحليل والنظرية الإرجودية من خلال نظرية المجموعات والتوافقيات اللانهائية، المنطق الرياضي هو دراسة نقاط القوة والقيود الخاصة باللغات الرسمية والبراهين والخوارزميات وعلاقاتها بالبنى الرياضية، كما يهدف إلى معالجة القضايا التأسيسية في الرياضيات.[1]

ما هو المنطق في الرياضيات

المنطق الرياضي أو المنطق الرمزي هو إحدى فصول الرياضيات الذي يتصل بكل من أساسيات الرياضيات وعلوم الحاسوب النظرية إضافة إلى المنطق الفلسفي، والمنطق هو دراسة الحقيقة وكيفية الحصول على حقائق عالمية من خلال الاستنتاج الرياضي والتي تعتبر اللغة الأساسية للرياضيات والمبدأ الأساسي للإثبات.[1]

الفرق بين المنطق الفلسفي والمنطق الرياضي 

يمكن الفرق بين المنطق الفلسفي والمنطق الرياضي بعدة نقاط وهي ما يلي:[2]

• في المنطق الفلسفي: فإن الافتراضات عبارة عن عبارات بسيطة يمكن أن تكون إما صحيحة أو خاطئة. كما أنه  لا يجب أن تكون مقترحاتك معقدة، بل يمكن أن تكون قصيرة مثل كل المربعات صفراء أو جودي تحب كل الأشياء الوردية، فاقتراحك هو أي بيان يمكن تصنيفها على أنها صحيحة أو خاطئة.
• في المنطق الرياضي: تتضمن المقترحات  عادةً رموزًا رياضية، ففي الهندسة مثلاً يمكن أن يكون لديك اقتراح يقول الخط AB هو منصف أسطر CD مع الرمز الرياضي المقابل للخطوط بدلاً من كلمة line وفي الجبر أيضاً يمكن أن يكون اقتراحك بسيطًا مثل x = 2، فاعتمادًا على نوع الرياضيات التي تعمل بها؛ يمكنك الحصول على مزيج من الكلمات مع الرموز الرياضية أو جميع الرموز الرياضية، ما يهم أكثر هو أن اقتراحك المنطقي يمكن وصفه على أنه إما صحيح أو خطأ.

تاريخ المنطق الرياضي 

يعود المنطق الرياضي والتفكير إلى آلاف السنين، وخاصةً  إلى عهد المهندسين المعماريين المصريين القدماء وعلماء الفلك البابليين، ويعود أيضاً إلى تطور التفكير المنطقي بشكل مستقل في الهند والصين، وبعد قرون كانت مجموعات متنوعة من علماء الرياضيات والفلاسفة اليونانيين تناقش طبيعة الحقيقة في محاولة لتطوير نظام رسمي للمنطق والاستنتاج الرياضي، وقد حملت في طياتها أفكار أفلاطون وأرسطو وكثيرين غيرهم عبر العصور الوسطى والتي أعيد إحياؤها من قبل علماء مثل القديس توما الأكويني والعديد من علماء الرياضيات العرب، ومن بين هؤلاء العلماء كان جوتفريد لايبنيز والذي كان من أوائل علماء الرياضيات الذين استخدموا لغة رمزية للمنطق على غرار ما نستخدمه اليوم، و منذ ذلك الحين أصبح المنطق متشابكًا بشكل وثيق مع مفاهيم مثل البديهيات والبرهان واللانهاية أو مجموعات الأرقام.[2]

فضل أرسطو في وضع أسس المنطق الرياضي 

كانت فكرة المنطق إنجازًا رئيسيًا لأرسطو في جهوده لإنتاج قوانين صحيحة للتفكير الرياضي، وقد كان أرسطو قادرًا على تدوين وتنظيم هذه القوانين في مجال منفصل للدراسة، وتركز المبادئ الأساسية للمنطق على قانون التناقض الذي ينص على أن البيان لا يمكن أن يكون صحيحًا أو خاطئًا وقانون الوسط المستبعد الذي يؤكد أن البيان يجب أن يكون إما صحيحًا أو خاطئًا،  وكان مفتاح تفكيره هو أن أرسطو استخدم أمثلة رياضية مأخوذة من النصوص المعاصرة في ذلك الوقت لتوضيح مبادئه، وعلى الرغم من أن علم المنطق مشتق من الرياضيات، فقد تم اعتبار المنطق في النهاية دراسة مستقلة عن الرياضيات ولكنه قابل للتطبيق على جميع أنواع التفكير.[3]

آفاق علم المنطق الرياضي الحديث 

إن علم المنطق الحديث يمتد ليشمل آفاق أوسع بكثير مما شمله منطق أرسطو، حيث أن علماء المنطق المُحْدَثون  قاموا بوضع نظريات وأساليب الهدف منها تناول القضايا الاستنتاجية على نحو مختلف بشكل تام عن الاستقراء المطلق، إن جورج بُول و أَلْفرد نُورْث وايتهد عالمان بريطانيان من علماء المنطق الحديث البارزين، واسترسل بعدهما في هذا المجال الفيلسوف البريطاني بِرْترْاند راسل، استخدم هؤلاء المناطقة مناهج حسابية وأساليب تستخدم الرموز على عكس المناطقة التقليديين، وفي يومنا هذا يستخدم علم المنطق بشكل أساسي في اختبار مدى سلامة القضايا، فضلاً عن استخداماته المهمة في مجال العمل مع الكثير من الأجهزة مثل الحواسيب والدوائر الكهربائية، وحتى يقوم عالم منطق باختبار سلامة قضية ما يقوم في البداية بتحليل عباراتها وصياغتها والتعبير عنها على شكل رموز رياضية، ففي الرياضيات كل حرف أو رمز ما يستخدم في القضية الرموز لكلمة أو لعبارة بأكملها في العديد من الحالات، فعلى سبيل المثال يَكْتب المناطقة عبارة مثل: ” الحكيم سقراط” في هيئة “ح س”، ويقوم عالم المنطق بعد ذلك بتطبيق قواعد الاستنتاج أحيانًا أو قواعد الاستدلال، لتحديد المعادلات الجديدة التي يُمكن استنتاجها من المقدمات الأصلية، ويستمر عالم المنطق في استنتاج المعادلات حتى يصل إلى نتيجة.[3]

آلية المنطق الرياضي الحديث الرمزي

المنطق الحديث الرمزي هو عبارة عن تطوير وتحديث وتصويب للمنطق التقليدي، وهذا النوع من المنطق قائم على استنباط القوانين المنطقية من أقلية المبادئ (بديهيات وقوانين) وبطريقة دقيقة جداً وكاملة، بمعنى أدق إنه نسق استنباطي يبدأ من مقدمات معينة لينتهي به المطاف إلى النظريات اللازمة عنها، معتمداً بذلك على قواعد خاصة، ومستخدماً اللغة المنطقية الرمزية فقط، ويرجع ظهورها إلى لايبنتيس أولاً ثم جورج بول ثانيا  بين عامي (1815 و1864) والذي طوره فریگه و ويتگنشتاين و كارناپ وغيرهم، ويسمى أحياناً بالمنطق الرمزي أو الرياضي أو الاستدلالي أو النظري أو جبر المنطق، كما يدعى أيضاً المنطق اللوغاريتمي أو اللوغو سيقا وتختلق هذه التسنيات تبعاً للهدف من هذه التسمية، وعلى يد كل من رسل Russell ووايتهد اكتمل هذا المنطق، وكان المنطق الرياضي الرمزي حصيلة محاولتهما المزج ما بين المنطق والرياضيات حيث أنهم طورا المنطق الرياضي ليصلا إلى المنطق الرمزي والذي يقوم على استخدام نوعين من الرموز وهي الثوابت والمتغيرات ويتألف من أربعة مباحث أساسية هي: [4]

• منطق القضايا: والذي  يستخدم المتغيرات القضائية في درس قيمة صدق القضية كوحدة من دون النظر إلى مكوناتها، ثم يبحث عن الروابط بينها معتمداً ثوابت النفي والعطف والانفصال واللزوم والتكافؤ، فيتشكل بذلك دلالات الصدق ثم يتابع بدراسة الصلاة بين هذه الدلالات ليكتمل كنسق استنباطي ومكوناته أفكار أولية ومصادرات وقواعد استنباط خاصة، ثم يعمد لبرهنة جميع نظرياته، كما أنه يدرس الاستدلال بنوعيه، من خلال صياغته بصورة دلالات صدق، فيتمكن بذلك من اختبار صحتها بقوائم الصدق حيث ميز بعض حالات التقابل غير الصحيحة، وأيضاً بعض القياسات الفاسدة التي عمد إلى تصويبها.
• منطق المحمولات: والذي يدرس القضايا مع اعتبار مكوناتها، مستخدماً لذلك متغيرات حدية، ورموزاً لأسوار القضايا، معتمداً الثوابت المنطقية السابقة، ليمحص بهذه الأدوات موضوعات المنطق التقليدي ويطورها.
• منطق الفئات: ويدرس هذا المنطق  القضايا باعتبارها ارتباط فئتين، فئة يدل عليها الموضوع وأخرى يدل عليها المحمول، ويصيغ جميع الاستدلالات بصورة معادلات جبرية، ليختبر صحتها إما بأشكال فن الهندسة وإما ببرهان حسابي، كما يدرس خصائص الفئات والعمليات الجبرية عليها جمع الفئات وضرب الفئات والاحتواء والهوية بين الفئات، وينتهي إلى بناء نسق استنباطي مكون من مقدمات أفكار أساسية مثل الفئة الصفرية والفئة الشاملة والفئة المتممة وبعض التعريفات الخاصة واامصادرات المأخوذة من العمليات الجبرية على الفئات، ويعتمد قواعد اشتقاق خاصة كالاستبدال الموحد واستبدال التطابق وغيرها، وليصل من خلالها إلى برهنة نظرياته، حيث أن المتغيرات الخاصة بهذا النسق هي عبارة عن متغيرات فئوية بمعنى أدق كلاً منها يدل على فئة، فضلاً عن احتوائه على رموز خاصة للثوابت.
• منطق العلاقات: والذي يبحث في العلاقات من خلال الأفكار الأولية التي تقوم عليها، كما يركز على عمليات جمع العلاقات وضربها، وسلب العلاقة وعكس العلاقة والهوية والتضمين بين العلاقات، ويصنف العلاقات نوعياً إلى: انعكاسية وتماثلية ومتعدية و ترابطية، وكمياً وفق عدد حدودها إلى: علاقة واحد بكثير وعلاقة كثير بواحد وعلاقة واحد بواحد وعلاقة كثير بكثير ويعتمد على متغيرات تدل على العلاقات، أما ثوابته فهي الثوابت المنطقية السابقة النفي والاحتواء والتضمين والاجتماع والضرب واللزوم، فيكتمل بذلك كنسق استنباطي دقيق.

العمليات المنطقية الرياضية

تتضمن الرياضيات عادةً الجمع بين العبارات الصحيحة أو الصحيحة من الناحية الافتراضية و بطرق مختلفة لإنتاج أو إثبات عبارات حقيقية جديدة، وسنقوم  بتوضيح بعض هذه الأفكار الأساسية، فمثلاً قبل الجملة نعني بيان له محددة القيمة الحقيقة، وهذا صحيح ويرمز لها ب (T) وهذا الحرف الأول من الكلمة الانجليزية true بمعنى صحيح أو إذا كانت الفرضية كاذبة  ويرمز لها ب (F)  وهذا الحرف الأول من الكلمة الانجليزية False بمعنى خاطئ، وعلى سبيل المثال:[4]

• في عام 1492 أبحر كولومبوس في المحيط الأزرق، وهي عبارة صحيحة إذا نكتب (T).
• أما في عبارة انتصر نابليون في معركة واترلو،  فهذه العبارة خاطئة  إذا نكتب (F).

وبشكل عام نعني بالصيغة أنها عبارة  ربما تتضمن بعض المتغيرات والتي تكون إما صحيحة أو خاطئة كلما قمنا بتعيين قيم معينة لكل من المتغيرات، حيث يتعلق استخدام المنطق في الرياضيات بمزج اللغة المحددة المستخدمة في المنطق مع الرموز المحددة المستخدمة في الرياضيات.

أهمية الرياضيات في الحياة اليومية

تعتبر الرياضيات مفيدة جدًا في الحياة اليومية، حيث يمكن أن تساعدنا الرياضيات في القيام بالعديد من الأشياء المهمة في والتي أصبحت من ضرورات الحياة، وفيما يلي بعض المهام اليومية التي تعتبر الرياضيات جزءاً لا يتجزأ منها:[5]

• إدارة الأموال: سيتعلم الناس بعض  المهارات في فصل الجبر والتي  ستساعدهم في الحصول على المال، و إحدى المهارات المهمة التي سيتعلمونها هي كيفية حساب الفائدة والفائدة المركبة، كما يمكن أن يستخدموا هذه المهارة لإدارة أموالهم، فضلاً عن هذا كله ستساعدهم هذه المهارة أيضًا في اختيار أفضل حساب مصرفي ز في تحديد بطاقة الائتمان الأفضل امتلاكها، أيضاً يحتاج الأشخاص الذين يقترضون إلى فهم الفائدة. وسيساعدهم أيضًا على اكتشاف أفضل الطرق لتوفير الأموال واستثمارها.
• رياضة ترفيهية: يمكن أن تساعد الهندسة وعلم المثلثات الأشخاص الذين يرغبون في تحسين مهاراتهم في الرياضة، حيث يمكن أن يساعدهم في العثور على أفضل طريقة لضرب الكرة أو صنع سلة أو الركض حول المسار، كما تساعد المعرفة الأساسية بالرياضيات أيضًا في تتبع النتائج الرياضية.
• تزيين المنزل وإعادة البناء: ويعتبر حساب المناطق هو مهارة مهمة، حيث هذا سيكون مفيدًا للأشخاص في إعادة تصميم المنازل والشقق المستقبلية، وتنمية الفكر الهندسي لدى كل الناس.
• معرفة في الطبخ: حيث يستخدم الناس المعرفة الرياضية عند الطهي دون علمهم بذلك، وعلى سبيل المثال من الشائع جدًا استخدام نصف وصفة أو ضعفها في إعداد الطعام، وفي هذه الحالة يستخدم الأشخاص النسب  لإجراء حسابات صحيحة لكل مكون، فعلى سبيل المثال إذا كانت الوصفة تتطلب 2/3 كوب من الدقيق، فيجب على الطاهي أن يحسب مقدار نصف أو ضعف 2/3 من الكوب، ومن ثم يجب أن يمثل الطباخ الكمية باستخدام المقاييس القياسية المستخدمة في الخبز مثل 1/3 كوب أو نصف كوب أو 1 كوب.
• مساعدة الناس في التسوق: سيستخدم الناس  الرياضيات عند شراء عناصر مختلفة من السوق، فعند شراء جهاز كمبيوتر جديد مثلاً، سيحتاج  الأشخاص إلى معرفة المتجر الذي يقدم أفضل سعر أو أفضل تمويل، كما أن الرياضيات مفيدة في العثور على أفضل صفقة للمواد الغذائية عبر المقارنة بين الأسماء التجارية  المختلفة  للنوع ذاته من المادة، فغالباً ما تحتوي المتاجر على مبيعات تعطي نسبة مئوية من السعر الأصلي، و بالمجمل فمن المفيد للأشخاص معرفة كيفية معرفة المدخرات، وتعد مهارة الرياضيات هذه مفيدة للغاية لأنها تساعدنا في حساب الخصومات حتى نتمكن من شراء عنصر بأفضل سعر معروض. 

أهمية المنطق في الرياضيات

تعطي قواعد المنطق معنى دقيقًا للبيانات الرياضية، حيث أنها تستخدم هذه القواعد للتمييز بين الحجج الرياضية الصالحة وغير الصالحة، وبصرف النظر عن أهميته في فهم التفكير الرياضي فإن للمنطق العديد من التطبيقات في علوم الكمبيوتر وذلك بدءًا من تصميم الدوائر الرقمية إلى بناء برامج الكمبيوتر والتحقق من صحة البرامج، والمنطق معني بأشكال التفكير نظرًا لأن الاستدلال متضمن في معظم الأنشطة الفكرية، فإن المنطق وثيق الصلة بمجموعة واسعة من المساعي، ودراسة المنطق الرياضي ضرورية لطلاب علوم الكمبيوتر، فضلاً عن قيمته الكبيرة لطلاب الرياضيات وغيرهم ممن يستخدمون البراهين الرياضية، فعلى سبيل المثال طلاب اللغويات، في عملية الاستدلال يصنع المرء استنتاجات، في الاستدلال يستخدم المرء مجموعة من العبارات والمقدمات من أجل تبرير عبارة أخرى الاستنتاج، وأكثر أنواع الاستدلالات موثوقية هي الاستدلالات الاستنتاجية، حيث يجب أن يكون الاستنتاج صحيحًا إذا كانت المباني كذلك، تذكر الهندسة الأولية: بافتراض أن الافتراضات صحيحة فهنا يجب إثبات صحة هذه النظرية بطريقة منطقية بحتة، مثل نظرية فيثاغورس يجب أن تكون العبارة صحيحة كل الصحة وهي تستخدم في البراهين الهندسية والبراهين الرياضية الأخرى الخاصة بالمثلثات القائمة. [6]

شاهد أيضاً: من هو الذي يرى الفلسفة علم الوجود بما هو موجود

خاتمة بحث عن المنطق في الرياضيات

في نهاية هذا البحث لا بد من التنويه أن المنطق في الرياضيات أحد الجوانب المهمة جدًا للموضوع هو تطوير طرق للدراسة المنهجية للطرق التي يمكن أن تدعم بها الأسباب الاستنتاجات، وبالتالي فإن تطور المنطق قد تزامن مع تطور الفلسفة عبر تاريخها وفي العديد من ثقافات العالم، والعمل على المنطق موجود بين الإغريق القدماء وفي الفلسفة الهندية الكلاسيكية في الفلسفة الإسلامية والغربية في العصور الوسطى من خلال انفجار النشاط في العصر الحديث.

وهكذا نكون وصلنا إلى نهاية مقالنا هذا بحث عن المنطق في الرياضيات والذي بدأنا فيه  بالتعريف بالمنطق في الرياضيات، وانتقلنا إلى بيان الفروق وفك الالتباس ما بين المنطق الرياضي والفلسفي، ثم أرفقنا لكم معلومات عن تاريخ المنطق الرياضي وفضل أرسطو في وضع أسس هذا المنطق، وعن علم المنطق الرياضي الحديث آفاقه وآليته، وأنهينا بحثنا بأهمية الرياضيات في حياتنا اليومية.